第一篇：向量法证明正弦定理
向量法证明正弦定理
证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：
任意三角形abc,作abc的外接圆o.
作直径bd交⊙o于d.连接da.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
2
如图1，△abc为锐角三角形，过点a作单位向量j垂直于向量ac，则j与向量ab的夹角为90°-a，j与向量cb的夹角为90°-c
由图1，ac+cb=ab(向量符号打不出)
在向量等式两边同乘向量j,得·
j·ac+cb=j·ab
∴│j││ac│co(更多请搜索WWW.)s90°+│j││cb│cos(90°-c)
=│j││ab│cos(90°-a)
∴asinc=csina
∴a/sina=c/sinc
同理，过点c作与向量cb垂直的单位向量j，可得
c/sinc=b/sinb
∴a/sina=b/sinb=c/sinc
2步骤1
记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(18 ……此处隐藏2216个字……
其中，向量c可以沿着z轴方向与平行于oxy平面的方向分解，即：
c?cz?cxy
将式子带入三重向量积的公式中，发现，化简得：
（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b这两个式子等价
现在我们考虑(a?b)?c刚好被a与b反向夹住的情况，其他的角度情况以此类推。
由图易得，(a?b)?c与a、b共面，a与b不共线，不妨设(
a?b)?c?xa?yb，
a,cxy
?(
?
,?),b,cxy
?(0,
?
)，所以：
在三角形中使用正弦定理，得
a?b）?csin[?-a,b]
?sin[
xa
?
yb
sin[a,cxy?
?k]
?
?b,cxy?
又因为a?b）?c?abcsina,b
所以，解得k=abc， 于是解得：
x= bcxycosb,cxyy??acxycosa,cxy
?b?cxy ??a?cxy
由图示和假定的条件，(a?b)?c在a和b方向上的投影皆为负值，所以x，y都取负值，
所以，
（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b
其他的相对角度关系，以此类推，也能得到相同的答案，所以：
(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b，命题得证。
小结论：当直观解答有困难时，可以通过分析转化的方法来轻松地解决。
